Curiosidades matemáticas: Ley de los números anómalos de Benford.

Hola lectores, voy a hablaros en el ámbito de las matemáticas de la llamada ley de los números anómalos de Benford. La historia comenzó en 1881, cuando el matemático y astrónomo Simon Newcomb observó que la tabla de logaritmos que usaba para sus cálculos presentaba un progresivo desgaste en las páginas; las primeras estaban considerablemente más desgastadas que las últimas.

 

Simon Newcomb

Antes de la aparición de las calculadoras, las tablas de logaritmos eran el método que se usaba  para cálculos en astronomía e ingeniería. Para los “jóvenes estudiantes de ciencias” describiré brevemente lo que era una tabla de logaritmos: la tabla de logaritmos, herramienta que en la actualidad no se utiliza ya que ha quedado obsoleta con el uso de las calculadoras científicas, era un voluminoso libro donde aparecía el valor de los logaritmos naturales de los números reales ordenados de manera creciente y, antes de la era informática, el libro de cabecera de científicos e ingenieros.

Retomando el tema, Simon se preguntó: ¿A qué podría deberse este selectivo desgaste? ¿Cómo se podría justificar este hecho tan curioso? Este asombroso desgaste selectivo sólo podía haberse producido por el uso continuado de las páginas donde aparecían los datos que con más frecuencia se usaban para los cálculos que Simon Neewcob necesitaba realizar. Debía suceder que los datos cuyos dígitos comenzaban por uno eran más frecuentes que los que comenzaban por dos, y así sucesivamente.

Pasó el tiempo, y esta propiedad no pasó de ser considerada una mera anécdota hasta que en 1938, el físico Frank Benford, observó que la misma propiedad se presentaba cuando se analizaban estadísticamente las frecuencias de 20.229 números provenientes de 20 muestras procedentes de campos tan diferentes como constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos, estadísticas de béisbol, direcciones de personas, etc.

 

Frank Benford

 

Benford  postuló la "ley de los números anómalos de Benford" que nos dice que la probabilidad de que en una serie de muchos datos el primer digito sea el número 1 es del 30%, de 17,6% para un 2, del 12'5% para el 3 y así sucesivamente, con probabilidades decrecientes para los dígitos con mayor valor. La demostración matemática formal de la ley de Benford la obtuvo en 1996 el matemático Ted Hill (demostración compleja que utiliza el teorema del límite central y su relación con el comportamiento de las mantisas en las multiplicaciones de valores aleatorios).

 

Hoy en día la ley de Benford tiene útiles e “inquietantes” aplicaciones en muy diversos campos, tales como la detección de fraude fiscal, ya que la falsificación de datos, por ejemplo, para la declaración de la renta, puede ser detectada si los datos aportados no verifican la ley de Benford; detección de irregularidades en datos de Auditorías Internas, debido a que el análisis de frecuencia de los dígitos es una potente herramienta analítica en la detección de irregularidades y fraudes; verificación de modelos demográficos, e incluso detección de fraudes electorales; mejora del aprovechamiento del espacio de almacenamiento y aumento de la velocidad de acceso en disco duro de un ordenador; en computación científica y aritmética en punto flotante, para facilitar la detección de errores.

 

Usando las palabras del matemático Mark J. Nigrini podemos decir que

 

“la ley de Benford no es mágica, pero a veces lo parece”.

 

 

Publicado en Dyna | Marzo - Abril 2015 | Vol. 90 nº2