CONFERENCIA

EL ASOMBROSO EFECTO DOPPLER

Si has asistido a una carrera de fórmula 1 podrás percibir un fenómeno curioso: cuando se acercan los bólidos, observarás un cambio de tono en el sonido según el vehículo se aproxima y luego se aleja en relación a tu posición; esta variación en el tono se debe al llamado efecto Doppler.

Este fenómeno fue explicado por vez primera por el físico austriaco Christian Doppler en 1842. En 1845, el también físico holandés Buys Ballot, probó la hipótesis de Doppler de una manera espectacular: un par de trompetistas se encontraba en una estación de tren, mientras que otros dos estaban localizados en un carruaje abierto del tren. Los dos grupos de trompetistas tocaron la misma nota. Cuando el tren pasó por la estación, la frecuencia de las dos notas no coincidió, aunque los músicos tocaban la misma.

Más adelante, un científico llamado Fizeau, prosiguió los estudios de Doppler y aplicó su teoría no solo a los sonidos, sino también a la luz.

El efecto Doppler, que explica este cambio aparente en la frecuencia de una onda emitida por una fuente en movimiento, se produce en cualquier tipo de propagación ondulatoria de energía como lo son las ondas sonoras u ondas electromagnéticas.

De manera intuitiva, podemos explicar el efecto Doppler de la siguiente forma: las ondas se mueven del mismo modo en todas las direcciones del espacio; el número de ondas emitidas por cada segundo transcurrido determina la frecuencia de la onda, de modo que las ondas de alta frecuencia viajan muy cerca unas de otras, mientras que las de baja frecuencia están muy alejadas entre sí.

La frecuencia de las ondas sonoras determina el tono del sonido. Las ondas de las notas de tono bajo viajan muy separadas unas de otras, mientras que las que se producen en tonos altos viajan muy juntas. Las ondas que proceden de delante tenderán a juntarse unas con otras, mientras que las que proceden de detrás tenderán a alejarse. Por tanto, si te encuentras por delante de un vehículo que avanza hacia ti, escucharás un sonido de un tono más alto que si te encuentras detrás de un coche que se está alejando. Este cambio de frecuencia es en realidad el efecto Doppler.

El efecto Doppler en las ondas luminosas también produce un cambio en la frecuencia cuando proceden de una fuente en movimiento, lo que se traduce en un cambio de color en la luz procedente de las estrellas. Los astrónomos que estudian estrellas y galaxias situadas a enorme distancias entre sí pueden detectar estos cambios de color.

De esta manera las estrellas que se alejan de nosotros muestran un desplazamiento al rojo (frecuencias más bajas), dado que sus ondas se están alejando unas de otras. Por su parte, una estrella que avance hacia nosotros muestra un desplazamiento hacia el azul (frecuencias más altas). La medida de estos cambios permite estudiar con precisión el movimiento relativo de los astros.

Llegado a este punto nos podemos preguntar ¿qué relación hay entre la observación del universo y el sonido de un coche de fórmula 1 cuando pasa a toda velocidad? La respuesta está en el efecto Doppler. En 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Powell Hubble observó un desplazamiento hacia el rojo en los espectros de la luz recibida de las galaxias lejanas. Elespectro de emisión electromagnéticoes un conjunto de frecuencias de las ondas electromagnéticas emitidas por átomos en estado gaseoso cuando se le comunica energía. El espectro de emisión de cada elemento es único, es como la huella dactilar de cada elemento de la tabla periódica.

Este sorprendente desplazamiento hacia el rojo (frecuencias más bajas), debía estar provocado por el efecto Doppler y nos dice que las galaxias debían de estar alejándose entre sí y, por tanto, “el universo se estaba expandiendo.” Además, Hubble observó que la velocidad de alejamiento de las galaxias era mayor cuanto más lejos se encontraban las unas de las otras, esto es la conocida "ley de Hubble", que establece que la velocidad de alejamiento de una galaxia es proporcional a la distancia a la que se encuentre de nosotros. Sorprendente descubrimiento, ¿no es cierto?.

¿Y el modelo del Big Bang, estará relacionado con el efecto Doppler? La respuesta es sí.

El camino para llegar a este resultado ha sido largo, contribuyendo a la construcción de esta teoría muchos científicos y habiendo sido necesario avances tecnológicos considerables.

Los físicos Alexander Friedman, del año 1922, y de Georges Lemaître, de 1927, demuestran, utilizando la teoría de la relatividad, que el universo estaba en movimiento constante. Y como ya hemos visto antes, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble descubrió galaxias más allá de la Vía Láctea que se alejaban de nosotros; como consecuencia, ya sabemos que el universo se expande.

En 1948, el físico ucraniano nacionalizado estadounidense George Gamow planteó la siguiente hipótesis: si damos marcha atrás en el tiempo, podríamos deducir que en un tiempo anterior las galaxias debieron estar más juntas. Retrocediendo lo suficiente llegaríamos a un punto donde toda la materia estaría muy junta concentrada en un punto (los físicos lo llamamos singularidad, lo cierto es que no entendemos bien lo que pasó en ese instante, por eso la llamamos así) y, de esta forma, el universo se creó a partir de una gran explosión, el Big Bang. Recientemente, el hallazgo de la radiación de fondo, vestigios de esta gran explosión primigenia, confirmó dicha teoría.

En nuestra vida cotidiana, las aplicaciones del efecto Doppler son muy amplias, abarcando campos diversos. Por ejemplo, existen radares de efecto Doppler para medir velocidad de aeronaves, detección velocidades de vehículos para control del tráfico rodado. En medicina, tenemos ecografías 3D con las que podemos ver el movimiento de fluidos dentro del cuerpo, así como la ecografía Doppler o Eco-Doppler, una variedad de la ecografía tradicional, basada en el empleo de ultrasonidos, en la que aprovechando el efecto Doppler es posible visualizar la velocidad del flujo que atraviesa ciertas estructuras del cuerpo, por lo general vasos sanguíneos, permitiendo determinar si el flujo se dirige hacia la sonda o si se aleja de ella, así como la velocidad de dicho flujo; también permite la visualización del flujo de sangre del corazón; el eco-Doppler, que también se usa para la determinación del riesgo de pre-clampsia en mujeres embarazadas; y determinar el flujo sanguíneo en las arterias y venas grandes en brazos y piernas. En meteorología, los radares meteorológicos de alta resolución Doppler detectan precipitaciones y movimientos atmosféricos, detección de huracanes, lluvias torrenciales etc., y también permiten la detección de turbulencias atmosféricas para mejorar la seguridad del tráfico aéreo. Y, por supuesto, en astronomía, la espectroscopia Doppler, (medición de la velocidad radial) es un método espectroscópico para encontrar planetas extrasolares; involucra la observación de desplazamientos Doppler en el espectro de la estrella alrededor de la cual la estrella orbita; así como la medición de la velocidad de asteroides, estrellas, galaxias, etc.

Espero haber contribuido con este post a estimular vuestra curiosidad sobre cómo los descubrimientos científicos cambian nuestras vidas, y confío que podáis valorar todo el esfuerzo realizado por hombres geniales que han hecho avanzar a la humanidad. Como alguien dijo alguna vez: “Caminamos a hombros de gigantes.”

 

Curiosidades matemáticas: Ley de los números anómalos de Benford.

Hola lectores, voy a hablaros en el ámbito de las matemáticas de la llamada ley de los números anómalos de Benford. La historia comenzó en 1881, cuando el matemático y astrónomo Simon Newcomb observó que la tabla de logaritmos que usaba para sus cálculos presentaba un progresivo desgaste en las páginas; las primeras estaban considerablemente más desgastadas que las últimas.

 

Simon Newcomb

Antes de la aparición de las calculadoras, las tablas de logaritmos eran el método que se usaba  para cálculos en astronomía e ingeniería. Para los “jóvenes estudiantes de ciencias” describiré brevemente lo que era una tabla de logaritmos: la tabla de logaritmos, herramienta que en la actualidad no se utiliza ya que ha quedado obsoleta con el uso de las calculadoras científicas, era un voluminoso libro donde aparecía el valor de los logaritmos naturales de los números reales ordenados de manera creciente y, antes de la era informática, el libro de cabecera de científicos e ingenieros.

Retomando el tema, Simon se preguntó: ¿A qué podría deberse este selectivo desgaste? ¿Cómo se podría justificar este hecho tan curioso? Este asombroso desgaste selectivo sólo podía haberse producido por el uso continuado de las páginas donde aparecían los datos que con más frecuencia se usaban para los cálculos que Simon Neewcob necesitaba realizar. Debía suceder que los datos cuyos dígitos comenzaban por uno eran más frecuentes que los que comenzaban por dos, y así sucesivamente.

Pasó el tiempo, y esta propiedad no pasó de ser considerada una mera anécdota hasta que en 1938, el físico Frank Benford, observó que la misma propiedad se presentaba cuando se analizaban estadísticamente las frecuencias de 20.229 números provenientes de 20 muestras procedentes de campos tan diferentes como constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos, estadísticas de béisbol, direcciones de personas, etc.

 

Frank Benford

 

Benford  postuló la "ley de los números anómalos de Benford" que nos dice que la probabilidad de que en una serie de muchos datos el primer digito sea el número 1 es del 30%, de 17,6% para un 2, del 12'5% para el 3 y así sucesivamente, con probabilidades decrecientes para los dígitos con mayor valor. La demostración matemática formal de la ley de Benford la obtuvo en 1996 el matemático Ted Hill (demostración compleja que utiliza el teorema del límite central y su relación con el comportamiento de las mantisas en las multiplicaciones de valores aleatorios).

 

Hoy en día la ley de Benford tiene útiles e “inquietantes” aplicaciones en muy diversos campos, tales como la detección de fraude fiscal, ya que la falsificación de datos, por ejemplo, para la declaración de la renta, puede ser detectada si los datos aportados no verifican la ley de Benford; detección de irregularidades en datos de Auditorías Internas, debido a que el análisis de frecuencia de los dígitos es una potente herramienta analítica en la detección de irregularidades y fraudes; verificación de modelos demográficos, e incluso detección de fraudes electorales; mejora del aprovechamiento del espacio de almacenamiento y aumento de la velocidad de acceso en disco duro de un ordenador; en computación científica y aritmética en punto flotante, para facilitar la detección de errores.

 

Usando las palabras del matemático Mark J. Nigrini podemos decir que

 

“la ley de Benford no es mágica, pero a veces lo parece”.

 

 

Publicado en Dyna | Marzo - Abril 2015 | Vol. 90 nº2

Se anuncia la detección directa de ondas gravitacionales

Se ha abierto una nueva ventana al Cosmos. Hoy jueves 11 de febrero se ha anunciado de manera oficial la detección de ondas gravitacionales por parte del equipo investigador encargado del experimento LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory, con observatorios en Louisiana y Washington). Se trata de una confirmación extraordinaria de la Relatividad General (la teoría de la gravitación de Einstein) que, junto con la detección del bosón de Higgs en el Gran Colisionador de Hadrones del CERN en 2012, constituye uno de los hitos científicos más señalados del nuevo siglo. El análisis de los datos experimentales ha sido publicado en la prestigiosa revista científica Physical Review Letters.

La Relatividad General da cuenta de la interacción gravitatoria entre objetos atendiendo a las propiedades geométricas (no-euclídeas) del espacio y el tiempo. Las masas del universo curvan el espacio-tiempo circundante, afectando al movimiento de las partículas y a la marcha de los relojes en el seno del campo gravitatorio. Tal y como resumió magistralmente el físico americano John A. Wheeler:

"La materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse; el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse".

Matemáticamente compleja, pero de enorme belleza formal, la teoría formulada por Einstein hace ahora exactamente un siglo consiguió unificar satisfactoriamente la Relatividad Especial (véase el post Breve Introducción Histórica a la Relatividad Especial) y la gravitación, revolucionando nuestras concepciones de espacio, tiempo y del propio universo como sistema físico. Entre los éxitos más señalados de la teoría, cabe citar la explicación precisa de fenómenos tan diversos como:

• El perihelio anómalo de los planetas del Sistema Solar, particularmente Mercurio.
• El desplazamiento al rojo de las líneas espectrales por efectos de dilatación temporal.
• La desviación de los rayos de luz procedentes de objetos distantes al pasar cerca de objetos muy masivos, como el Sol o las galaxias.
• La existencia de singularidades en la descripción de agujeros negros o en el origen mismo de nuestro universo (Big Bang).
• La necesaria expansión (o contracción) de un universo homogéneo e isótropo.

Las ondas gravitacionales, otra de las predicciones más destacadas de la teoría, son ondulaciones del tejido espacio-temporal provocadas por sistemas dinámicos de enorme energía (pensemos, por ejemplo, en la explosión de una supernova, la colisión de dos agujeros negros supermasivos o un sistema binario de estrellas de neutrones en rotación). En efecto, cuanto más masivos sean los objetos involucrados, más intensas serán las curvaturas del espacio-tiempo en sus cercanías; cambios en la configuración de estos sistemas pueden provocar cambios dinámicos en la geometría espacio-temporal, que se propagarán lejos de la fuente que los provoca a la velocidad de la luz (tal y como Poincaré habría de argumentar ya en 1905). En este sentido, el fenómeno resulta similar a la emisión de ondas electromagnéticas por parte de cargas eléctricas aceleradas.

Los interferómetros del experimento LIGO han sido capaces de medir las deformaciones espacio-temporales locales experimentadas al paso de dichas ondas al incidir sobre la Tierra, detectando distorsiones de ¡no más de una parte en 10²¹! Si bien disponíamos de evidencia indirecta de la existencia de ondas gravitacionales (responsable, por ejemplo, de la disminución del período del púlsar PSR B1913+16), se trata de la primera vez que tales ondas son detectadas de forma directa. La fuente de la señal corresponde a la fusión de dos agujeros negros de aproximadamente 29 y 36 masas solares acaecida hace 1300 millones de años. Un auténtico cataclismo cósmico que liberó aproximadamente tres veces la masa del Sol en forma de ondas gravitacionales en apenas una fracción de segundo, en lo que Kip Thorne ha descrito hoy, durante la presentación celebrada en la National Science Foundation (Washington), como una violenta tormenta en el espacio-tiempo.

Más información en: https://www.ligo.caltech.edu/news/ligo20160211

Breve introducción histórica a la Relatividad Especial

En 1905, Albert Einstein formuló la Teoría de la Relatividad Especial en su afán por proporcionar una descripción coherente de los fenómenos electromagnéticos, aun cuando ello implicara el abandono de nuestras concepciones tradicionales de espacio y tiempo. El dilema al que se enfrentaban los Físicos en ese período requería ciertamente de una mente inquisitiva como la de Einstein, nada alérgico a los cambios de paradigma.

 

Como es bien sabido, los observadores se valen de relojes sincronizados y sistemas de coordenadas con el fin de realizar mediciones espacio-temporales precisas en sus experimentos. De entre todas las clases posibles de observadores, la Física Newtoniana siempre ha distinguido de manera particular a los denominados observadores inerciales, aquéllos sobre los que no actúan fuerzas netas externas y siguen un movimiento relativo rectilíneo y uniforme (es decir, con velocidad constante). Las reglas clásicas que permitían traducir las mediciones espacio-temporales realizadas por distintos observadores inerciales (las denominadas transformaciones de Galileo, que tan buenos resultados hubieran de producir en el marco de la Mecánica de Newton) eran bien conocidas y resultaban excepcionalmente simples de usar, pero parecían conducir a una inconsistencia irresoluble: modificaban la forma de las ecuaciones de Maxwell, base del electromagnetismo, de manera que las leyes que rigen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos parecían diferir de un sistema inercial a otro.

 
 

Muy en particular, y de acuerdo con dichas reglas clásicas de transformación, la velocidad de una onda electromagnética en el vacío (ya fuera luz visible, radio o microondas), tradicionalmente denotada como c, dependería del estado de movimiento del observador en relación a su propagación. Así, por ejemplo, y siempre de acuerdo con la lógica galileana, si persiguiésemos un rayo de luz a una velocidad v = c/2, deberíamos observar una disminución en la celeridad de la onda de igual magnitud. Los famosos experimentos de interferometría de Michelson y Morley (1887) demostraron, sin embargo, que la velocidad de la luz c es realmente independiente del estado de movimiento del observador. En otras palabras, aun cuando persiguiéramos a la onda a la mitad de su velocidad, ¡seguiríamos percibiendo que la luz avanza respecto a nosotros con una celeridad igual a c!

 

 

Por paradójico que este hecho pueda resultarnos, Einstein prefirió aceptarlo y analizar sus sorprendentes implicaciones antes que admitir la existencia de un sistema de referencia privilegiado (éter), el único entre todos los sistemas inerciales en el que el electromagnetismo de Maxwell resultaría válido. Por el contrario, Einstein creía firmemente que todos los sistemas inerciales resultan igualmente válidos en la descripción de los fenómenos físicos, incluidos los electromagnéticos. Ello le obligó a renunciar a las transformaciones galileanas y, con ellas, al espacio y el tiempo absolutos de Newton. En su nueva concepción, la distancia entre puntos espaciales o el intervalo temporal entre sucesos se demostraban ahora dependientes del observador, característica ésta ilustrada en la conocida paradoja de los gemelos: 

Un astronauta que realizara un viaje de ida y vuelta desde la Tierra de, digamos, cinco años de duración moviéndose a un 99% de la velocidad de la luz encontraría a su regreso que su hermano gemelo habría envejecido treinta años más que él.

Este hecho puede resultarnos sorprendente, dado que no estamos habituados a velocidades tan elevadas y efectos de dilatación temporal como el descrito son completamente insignificantes en nuestra vida cotidiana, pero se demuestra cierto día a día en el funcionamiento de los aceleradores de partículas o en el incremento aparente de la vida media de los muones producidos en nuestra atmósfera por la incidencia de rayos cósmicos. Analizaremos en detalle la paradoja de los gemelos en un próximo post y comprobaremos que, contrariamente a lo que se afirma en muchas obras de divulgación, no es necesario recurrir a la Relatividad General (la teoría de la Gravitación de Einstein) para explicar el fenómeno.

 

La invariancia de las ecuaciones de Maxwell entre observadores inerciales (plasmada en las denominadas transformaciones de Lorentz) y la constancia de la velocidad de la luz son, pues, los principios motivadores de la Relatividad Especial, que conoce en su identificación entre masa en reposo y energía

E = m₀c²

a su ecuación más popular.

100 AÑOS DE RELATIVIDAD

Ahora que se cumplen 100 años de la publicación de la Teoría de la Relatividad de Einstein es buen momento para hacer un breve recordatorio de su vida:

AÑO	EVENTO
1879	Nace el 14 de Marzo en Ulm (Alemania).
1880	Se muda con su familia a Munich.
1882	Comienza a hablar.
1894	A la edad de 15 años se muda a Pavía, con su familia porque no le gusta la filosofía educativa alemana. El Dr. Joseph Degen Hart le dice que “nunca conseguiría nada en la vida”, a lo que Einstein le responde “no he cometido ningún delito” a lo que el profesor le responde “su sola presencia mina el respeto que me debe la clase”.
1895	Intenta entrar en la Escuela Politécnica de Zurich. No es aceptado al no cumplir los requisitos que se le exigen. Intenta acceder mediante el examen de admisión especial pero fracasa. Sin embargo el director le anima a que realice los estudios necesarios para poder ser aceptado.
1896	Renuncia a la nacionalidad alemana. Obtiene el título para entrar en la Politécnica, sección Matemáticas.
1900	Termina los estudios pero, de los cuatro que acaban, él es el único que no obtiene el puesto de ayudante.
1901	Consigue la ciudadanía suiza, que mantuvo toda su vida.
1902	Tuvo una hija con Mileva, de la que nunca se supo nada. Es contratado como empleado de la oficina de patentes de Berna.
1903	Se casa con Mileva.
1905	Publica tres trabajos: -     Sobre un punto de vista heurístico relativo a la producción y transformación de la luz. Este trabajo le supuso el premio Nobel en 1922. Sin embargo nunca estuvo muy de acuerdo pues le parecía más trascendental e importante la Teoría de la Relatividad. -   Sobre el movimiento requerido por la teoría cinético-molecular del calor para partícula pequeñas suspendidas en fluidos estacionarios. -       Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento. Constituye la Relatividad especial y expone un espacio-tiempo cuatridimensional.
1909	Es contratado como profesor asociado en la Universidad de Zurich.
1911	Catedrático de Física en la Universidad de Praga.
1912	Catedrático sin obligaciones docentes en la Universidad de Berlín. Se separa de Mileva.
1915	Publica la Teoría de la Relatividad General.
1919	Se casa con su prima Elsa. Se comprueba experimentalmente la curvatura de la luz, lo que supuso un gran acto de reconciliación entre Alemania e Inglaterra tras la guerra.
1921	Se le otorga el Nobel de Física.
1932	Abandona Alemania.
1933	Acepta una cátedra extraordinaria en la Universidad de Madrid. El 4 de Junio declina la oferta por el clima inestable que atraviesa España. En Octubre acepta pertenecer al claustro de la Escuela de Matemáticas del Instituto de Estudios avanzados de Princeton.
1940	Se nacionaliza estadounidense, aunque renueva su pasaporte suizo.
1955	Murió.

¡MARCHANDO UNA DE CÁLCULO!

Precisamente hoy, que la NASA ha reconocido la posibilidad de que en Marte haya agua, me parece que es una buena manera de iniciar este blog.

Si la Agencia norteamericana hubiera dicho que se ha encontrado vida en otro planeta sería, seguramente, la noticia más importante de la historia de la humanidad. Sería algo similar al descubrimiento del Nuevo Mundo allá por 1492. Según parece, ya existían documentos que hablaban de otros pueblos que habían viajado hasta allí. Sin embargo, el mérito de Colón reside en que fué el primero en realizar un viaje de ida y vuelta entre ambos continentes, estableciendo una ruta.

Sobre el por qué se atrevió a realizar tal viaje, sigue siendo objeto de muchas teorías. Una de ellas asegura que Don Cristóbal se sirvió de su observación como marinero para confirmar la curvatura de la Tierra. Así, cuando un barco abandonaba el puerto no se iba haciendo más pequeño en la distancia únicamente, sino que, además, lo último que se observaba de éste era la parte superior del mástil del que colgaba la vela mayor. No obstante sus estimaciones no fueron afortunadas y se equivocó en gran medida en la determinación del radio de la Tierra.

Y así, partiendo de esta historia se me ocurrió plantearme un problema similar en algunos aspectos al que, en su día, le confirmara a Colón la redondez de nuestro planeta.

Supongamos que estamos en lo alto de un edificio. Desde esa posición podemos ver hasta cierta distancia en nuestro horizonte debido a la curvatura de la Tierra. Siendo así y suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta de diámetro conocido (6371 Km) y que queremos construir un edificio en Madrid desde cuya terraza queramos poder ver el mar, ¿qué altura debería tener tal edificio si la distancia de Madrid al mar es de 300 Km?

Nota: Se considerarán condiciones ideales, despreciándose efectos ópticos debidos a la atmósfera u otros posibles inconvenientes.

Las soluciones las podéis enviar a cienciayuniversidad@gmail.com. No se admitirán soluciones por ordenador, sólo se admitirán cálculos con calculadora científica y con dos cifras decimales.

A la primera solución correcta recibida le corresponderá una invitación a desayunar en la cafetería de la Universidad.